理论知识

概念理解

定义

DFT中的一种快速计算方法FFT，是离散傅里叶级数

如何理解DFT的本质

【基础知识】正交向量$si{n}_{base}$和$co{s}_{base}$

只要知道两个向量是相乘等于1即可，后续也需要这些知识

对离散序列 $x[n]$ 做 $N$ 点DFT：

$X(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j2\pi kn/N}={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]\cos \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-j{\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]\sin \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$

其中：

• 实部 $X_{\text{re}}(k)=\sum x[n]\cos (2\pi kn/N)$
• 虚部 $X_{\text{im}}(k)=-\sum x[n]\sin (2\pi kn/N)$

具体实现

首先我们定义一个信号，我选择了100Hz+250Hz的基础混合信号，其图像如下图所示

叠加波形：黑色线条所示为双频信号
$x(t)=1.2\cos (2\pi \cdot 100t+\pi /4)+0.7\cos (2\pi \cdot 250t-\pi /6)$

采样参数：

• 采样率 $f_s=800\text{Hz}$ （满足奈奎斯特采样定理 $f_s>2f_{\max }=500\text{Hz}$）
• 采样时间 $T=10\text{ms}$
• 采样点数 $N=f_s\times T=800\times 0.01=8$ 个

图上标注：红点表示8个等间隔采样点 $x[n],n=0,1,\dots ,7$

采样后的投影操作

现在我们已经完成了采样，采集到了一下8个点，接下来进行一个手搓计算DFT

首先我们需要理解什么是频率分辨率，这里就是我们的频率分辨率

定义与公式

对于离散傅里叶变换（DFT）：

$$\Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{T}$$

• $f_s$：采样率（Hz）
• $N$：采样点数
• $T=N/f_s$​：总观测时长（秒）

频率分辨率：

$\Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac{800}{8}=100\text{Hz}$

“采样时间多长，频谱就能‘多细’。”
Δf = 1 / T，与采样率无关，只取决于你看了信号多久。

直观理解

• $\Delta f$ 是频谱上相邻两根“钉子”之间的最小间隔。
• 你无法区分两个频率差小于 $\Delta f$ 的信号，因为它们会落在同一根钉子上。

观测时长 $T$	频率分辨率 $\Delta f$	频谱精细度
10 ms	100 Hz	粗
100 ms	10 Hz	细
1 s	1 Hz	很细

同一个信号不同的频率分辨率

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几何解释（圆周等分）

DFT 把总时长 $T$ 均匀切成 $N$ 段，每段长度：

$$\Delta t=\frac{T}{N}=\frac{1}{f_s}$$

在频域里，频率轴也被均匀切成 $N$ 段，每段长度：

$$\Delta f=\frac{1}{T}$$

时间越短，切得越粗；时间越长，切得越细——这就是时间与频率的“对偶”。

例子解释

那么我们接下来依旧回到原来的信号，此时原来的信号的频率分辨率是100Hz，因为8个点

DFT 给出 $N$ 个复数 $X(k)$，对应频率：

$$f_k=k\cdot \Delta f,k=0,1,\dots ,N-1$$

完整横坐标（共 8 点）：

$$[0,100,200,300,400,500,600,700]\text{Hz}$$

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有效分析范围

实信号具有共轭对称性，只关注前半段：

$$k=0\to \frac{N}{2}=4\Rightarrow [0,100,200,300,400]\text{Hz}$$

（$k=4$ 为奈奎斯特频率，镜像对称中心）

实信号频谱共轭对称，正、负频率互为镜像；
前一半（0~Nyquist）已含全部信息，后一半是冗余镜像。

数学证明：共轭对称性

对实数序列 $x[n]$ 做 DFT：

$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

由于 $x[n]\in \mathbb{R}$，可证：

$$X(N-k)=\overline{X(k)}\text{(复共轭)}$$

• 幅值相同：$|X(N-k)|=|X(k)|$
• 相位相反：$\angle X(N-k)=-\angle X(k)$

结论：$k=N/2+1\sim N-1$ 的频点完全是 $k=1\sim N/2-1$ 的镜像，不携带新信息。

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直观例子（8点）

序号 $k$	频率 $f_k$	复数 $X(k)$	说明
0	0 Hz	实数	直流，自身对称
1	100 Hz	$a+bj$	正频率
2	200 Hz	$c+dj$	正频率
3	300 Hz	$e+fj$	正频率
4	400 Hz	实数	Nyquist，自身对称
5	500 Hz	$e-fj$	负频率镜像（= -300 Hz）
6	600 Hz	$c-dj$	负频率镜像（= -200 Hz）
7	700 Hz	$a-bj$	负频率镜像（= -100 Hz）

正频率：$k=0,1,2,3,4$（0~400 Hz）
负频率：$k=4,5,6,7$（400~700 Hz，镜像）

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物理意义

• 负频率是数学产物，不是真实物理频率。
• 实信号的正、负频率成对出现，能量相同，只看正半轴就够了。

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在单片机上的FFT

实数FFT

• 在单片机上做 1024 点实数 FFT 时：
• 只有前 512 个点是有效的频谱信息， 后 512 个点是共轭对称的冗余镜像。

复数FFT

• 如果你用的是 复数 FFT 库（输入有实部 + 虚部），那就没有对称性，必须看全部 1024 个点。 但在纯实信号场景下，前一半就够用。

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  📌 一句话总结：

  实信号 + FFT → 只看前一半，后一半是镜像。 单片机做 1024 点实 FFT，有效频谱 = 前 512 个点。

与原始信号对应

• 100 Hz → 正好落在 $k=1$（100 Hz 钉子）
• 250 Hz → 位于 $k=2$ 与 $k=3$ 之间，最接近 300 Hz 钉子，产生频谱泄漏，但幅值/相位仍可从 $k=3$​ 读取。

信号分析

采集的8个点的值为

然后我们就需要进行DFT，即得出实部和虚部，具体怎么得出的呐？

得出实部与虚部：原始信号的投影

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正交基频向量的生

就是把N=8和k带进去

DFT 的核心是为每个频率点构造一对正交基底向量，其数学来源是欧拉公式：

$$e^{j\omega }=\cos (\omega )+j\sin (\omega )$$

对于第 $k$ 个频率 bin（对应频率 $f_k=k\Delta f$），其基底向量为：

• 实部（cos 轴）：${\mathbf{c}}_k[n]=\cos \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$
• 虚部（sin 轴）：${\mathbf{s}}_k[n]=-\sin \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$

其中 $n=0,1,\dots ,N-1$ 为采样点序号，$N$ 为总点数。

几何意义：在 $N$ 维空间中，${\mathbf{c}}_k$ 与 ${\mathbf{s}}_k$ 构成一对正交的单位长度向量（归一化后），分别代表该频率的余弦分量和正弦分量。

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投影计算：点乘的本质

投影的数学操作是向量点积（内积），即将原始信号向量 $\mathbf{x}$ 分别与 ${\mathbf{c}}_k$ 和 ${\mathbf{s}}_k$ 逐点相乘后求和：

• 实部（投影到 cos 轴）：

  $$X_{\text{re}}(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot \cos \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$$

• 虚部（投影到 sin 轴）：

  $$X_{\text{im}}(k)=-\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot \sin \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$$

计算过程（以 $k=1$ 即 100 Hz 为例）： | 采样点 $n$ | $x[n]$ | $\cos (2\pi n/8)$ | $x[n]\cdot \cos$ | $-\sin (2\pi n/8)$ | $x[n]\cdot (-\sin )$ | |------------|--------|-------------------|-----------------|-------------------|--------------------| | 0 | 1.7 | 1.00 | +1.70 | 0.00 | 0.00 | | 1 | 0.2 | 0.71 | +0.14 | -0.71 | -0.14 | | 2 | -1.5 | 0.00 | 0.00 | -1.00 | +1.50 | | 3 | -0.8 | -0.71 | +0.57 | -0.71 | +0.57 | | 4 | 1.2 | -1.00 | -1.20 | 0.00 | 0.00 | | 5 | -0.3 | -0.71 | +0.21 | 0.71 | -0.21 | | 6 | -1.1 | 0.00 | 0.00 | 1.00 | -1.10 | | 7 | 0.9 | 0.71 | +0.64 | 0.71 | +0.64 | | 求和 | — | — | 2.06 | — | 1.26 |

投影计算：点乘的本质

投影的数学操作是向量点积（内积），即将原始信号向量 $\mathbf{x}$ 分别与 ${\mathbf{c}}_k$ 和 ${\mathbf{s}}_k$ 逐点相乘后求和：

• 实部（投影到 cos 轴）：

  $$X_{\text{re}}(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot \cos \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$$

• 虚部（投影到 sin 轴）：

  $$X_{\text{im}}(k)=-\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot \sin \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$$

计算过程（以 $k=1$ 即 100 Hz 为例）：

采样点 $n$	$x[n]$	$\cos (2\pi n/8)$	$x[n]\cdot \cos$	$j\sin (2\pi n/8)$	$x[n]\cdot (j\sin )$
0	1.7	1.00（n=0）	+1.70	0.00	0.00
1	0.2	0.71	+0.14	-0.71	-0.14
2	-1.5	0.00	0.00	-1.00	+1.50
3	-0.8	-0.71	+0.57	-0.71	+0.57
4	1.2	-1.00	-1.20	0.00	0.00
5	-0.3	-0.71	+0.21	0.71	-0.21
6	-1.1	0.00	0.00	1.00	-1.10
7	0.9	0.71	+0.64	0.71	+0.64
求和	—	—	2.06	—	1.26

得到模值与相位角

将实部和虚部合成复数并归一化（除以 $N$）：

$$X(k)=\frac{X_{\text{re}}(k)+j{X}_{\text{im}}(k)}{N}$$

• 模值（幅值）：

  $$|X(k)|=\frac{\sqrt{X_{\text{re}}^2(k)+X_{\text{im}}^2(k)}}{N}$$

• 相位角（初相）：

  $$\varphi (k)=\angle X(k)=\arctan 2\left(X_{\text{im}}(k),X_{\text{re}}(k)\right)$$

意义：模值代表该频率分量在原始信号中的能量占比，相位角代表相对时序偏移。

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总结

1. 基频向量由欧拉公式生成，提供正交的 cos/sin 轴
2. 投影 = 信号向量与基频向量的点积（逐点乘 → 求和）
3. 实部/虚部分别对应 cos/sin 分量贡献
4. 模值 + 相位完整描述该频率在原始信号中的存在形态

最后绘制频谱图和幅度相位谱图

相位谱就是上面夹角计算出来的

IDFT还原波形对比

代码知识

注意FFT和输入捕获采样不同，他是通过数学分析计算adc采样进去的值分析出来频谱和幅度谱

基础设置

在设置FFT的时候会涉及到ADC的时钟（时钟树的时候设置的），ADC转换时间（因为这个的限制导致无法像输入捕获的时候一样能更高的频率），采样分辨率的设置（采样时长，以及采样点数决定采样分辨率）

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20kHz信号FFT频谱测量核心知识总结

核心结论：实现20kHz信号FFT测量，需先满足ADC采样频率的抗混叠要求（Nyquist定理），再通过采样点数/采样时长优化频率分辨率，三者存在固定数学关联，无法单独随意修改。

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一、核心参数及关联逻辑

1. ADC采样频率（Fs）：FFT测量的前提，决定能否准确捕获20kHz信号，需满足Fs≥2×20kHz（Nyquist定理），工程中推荐50kHz~100kHz（留1.2~2倍余量，规避滤波器过渡带影响）。
2. 频率分辨率（Δf）：决定频谱相邻谱线间隔，影响相近频率区分能力，公式为Δf=Fs/N=1/Tacq（N为采样点数，Tacq为总采样时长）。
3. 采样点数（N）与总采样时长（Tacq）：两者与Fs锁定关联，Tacq=N/Fs，固定N和Fs则Tacq自动确定，无法单独修改；调整Tacq需通过修改N或Fs实现（优先改N）。

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二、关键设置原则

1. 采样频率底线：Fs必须≥40kHz（最低要求），低于此值会导致20kHz信号混叠，FFT结果失真。
2. 频率分辨率选择：仅检测信号是否存在时，Δf可宽松（如1kHz）；需精确测频或区分相邻频率（如19.9kHz与20.1kHz），则Δf需减小（如1Hz、10Hz）。
3. 采样点数优化：N建议取2的整数次幂（如1024、2048、8192），提升基2FFT算法效率，降低单片机计算压力。

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三、参数调整核心规则

1. 固定N和Fs → Tacq与Δf同步固定，不可单独修改，否则破坏三者逻辑关联。
2. 需调整Tacq（优化分辨率）：优先保持Fs不变、修改N（避免Fs过低导致抗混叠不足）；禁止为延长Tacq而降低Fs至40kHz以下。
3. 权衡关系：Tacq越长（N越大），Δf越小（分辨率越高），但单片机存储压力（需缓存N个采样点）和计算时间会增加，需平衡分辨率与实时性。

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四、标准设置步骤（工程常用）

1. 定采样频率：Fs=50kHz~100kHz（满足抗混叠，预留调整空间）。
2. 定分辨率Δf：根据需求选择（如10Hz，兼顾精度与实时性）。
3. 算N和Tacq：N=Fs/Δf（向上取2的整数次幂），Tacq=N/Fs=1/Δf。
4. 验证合理性：确认单片机ADC支持该Fs，且存储缓冲区可容纳N个采样点。

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五、典型配置示例

Fs=50kHz（抗混叠充足）、Δf≈6.1Hz、N=8192（2的整数次幂）、Tacq≈164ms，可准确捕获20kHz信号，清晰区分相邻频率，且单片机负载适中。

要不要我帮你整理一份20kHz信号FFT参数配置速查表，包含不同需求下的Fs、N、Tacq对应值，方便直接调用？

20kHz信号FFT参数配置速查表

（基于工程实用场景设计，均满足 Nyquist 抗混叠要求，采样点数 N 均为 2 的整数次幂，适配基2FFT算法）

需求场景	采样频率（Fs）	目标频率分辨率（Δf）	采样点数（N，2^n）	实际频率分辨率（Δf实际）	总采样时长（Tacq）	单片机负载（16位ADC）	备注（适用场景+关键提示）
仅检测20kHz信号是否存在	50kHz	1kHz（宽松分辨率）	64	≈781Hz	1.28ms	存储：128B（64×2B） 计算：极低	实时性最优，适合快速判断信号有无；前端滤波器需截止40kHz以上信号
仅检测20kHz信号是否存在	80kHz	1kHz（宽松分辨率）	128	≈625Hz	1.6ms	存储：256B（128×2B） 计算：极低	抗混叠余量更足（4×20kHz），信号失真风险更低
常规精度测频/区分相邻频率（如19.9kHz~20.1kHz）	50kHz	10Hz（平衡精度与负载）	8192	≈6.1Hz	163.84ms	存储：16KB（8192×2B） 计算：中等	工程首选配置，既保证分辨率，又不占用过多存储/计算资源；适合多数场景的频率测量
常规精度测频/区分相邻频率（如19.9kHz~20.1kHz）	80kHz	10Hz（平衡精度与负载）	8192	≈9.77Hz	102.4ms	存储：16KB（8192×2B） 计算：中等	采样时长更短（实时性更好），Δf接近目标值；适合对实时性要求稍高的场景
常规精度测频/区分相邻频率（如19.9kHz~20.1kHz）	100kHz	10Hz（平衡精度与负载）	16384	≈6.1Hz	163.84ms	存储：32KB（16384×2B） 计算：中等	抗混叠最强（5×20kHz），分辨率更优；适合干扰较多的场景
高精度测频（误差±1Hz）/区分近频信号（如19.999kHz）	50kHz	1Hz（高精度）	65536	≈0.76Hz	1.31s	存储：128KB（65536×2B） 计算：较高	精度拉满，适合对频率精度要求极高的场景；需单片机有足够存储缓存，实时性较弱
高精度测频（误差±1Hz）/区分近频信号（如19.999kHz）	100kHz	1Hz（高精度）	131072	≈0.76Hz	1.31s	存储：256KB（131072×2B） 计算：较高	抗混叠+精度双优；适合干扰强、精度要求高的场景；需高性能单片机支持（大缓存+快运算速度）

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速查表使用说明

1. 场景匹配优先：

   • 仅判断20kHz信号“有/无”→ 选“仅检测”类配置（负载最低、实时性最好）；
   • 需大致测量频率或区分相近频率→ 选“常规精度”类（工程首选，兼顾各方）；
   • 需精准测频（如校准场景）→ 选“高精度”类（牺牲实时性换精度）。

2. 单片机适配注意：

   • 存储需求：16位ADC每个采样点占2字节，可根据表格中“存储”值判断单片机RAM是否足够（如8位单片机常见RAM为128B~4KB，优先选N≤8192的配置）；
   • 采样率支持：确认单片机ADC最大采样率≥表格中Fs（如STM32F1系列ADC最高采样率约1MHz，完全支持表中所有Fs）；
   • 计算速度：N越大，FFT计算时间越长（如N=65536的计算时间约为N=8192的8倍），8位单片机建议优先选N≤16384。

3. 关键补充提醒：

   • 前端滤波器：无论选哪种配置，需在ADC前加低通滤波器（截止频率≤Fs/2，如Fs=50kHz时截止≤25kHz），避免高频干扰混叠；
   • 灵活调整：若表格中无完全匹配的配置，可按“Fs不变，调整N（2的整数次幂）”推导（如Fs=60kHz，需Δf≈8Hz，则N=8192，Δf实际=60kHz/8192≈7.3Hz）；
   • 避免踩坑：Fs不可低于40kHz，N不可非2的整数次幂（否则基2FFT效率暴跌）。