BPSK 相干解调平方环法技术总结

1. 概述

在 BPSK（二进制相移键控）通信中，由于抑制载波特性，接收端无法直接提取参考载波。平方环法（Square Loop Method） 通过非线性变换（平方运算）消除 $180^{\circ }$ 的相位翻转，恢复出二倍频分量，再经锁相环和分频器提取相干载波。

2. 实际电路解调流程

根据实际电路设计，整个解调系统分为载波恢复和相干解调两个主要部分，流程如下：

1. 平方运算（乘法器 1）：输入信号与其自身相乘，实现平方功能。
2. 相位锁定（PLL）：锁相环锁定平方信号中的二倍频分量。
3. 载波还原（分频器）：对锁相环输出进行二分频，得到同频本地载波。
4. 相干解调（乘法器 2）：将原始输入信号与恢复的本地载波相乘。
5. 低通滤波（LPF）：提取基带信号。

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3. 数学推导

3.1 输入信号模型

假设输入的 BPSK 信号为：

$s(t)=A\cdot d(t)\cos ({\omega }_{c}t+\theta )$

其中：

• $A$ 为信号幅度；
• $d(t)\in \{+1,-1\}$ 为双极性数字基带信号；
• ${\omega }_c$ 为载波角频率，$\theta$ 为初始相位。

3.2 载波恢复部分（平方环）

第一步：平方运算（乘法器1输出）

$$\begin{array}{rl}{y}_{sq}(t)& =[Ad(t)\cos ({\omega }_{c}t+\theta ){]}^2\\ & =A^2{d}^2(t){\cos }^2({\omega }_{c}t+\theta )\end{array}$$

由于 $d(t)=\pm 1$，故 $d^2(t)=1$。利用三角恒等式 ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$：

$y_{sq}(t)=\frac{A^2}{2}[1+\cos (2{\omega }_{c}t+2\theta )]$

此时，调制信息 $d(t)$ 被消除，信号中产生了 $2{\omega }_c$ 的分量。

第二步：锁相与分频

锁相环（PLL）跟踪并锁定该二倍频信号，其输出为：

$v_{pll}(t)=\cos (2{\omega }_{c}t+2\hat{\theta })$

经过二分频器后，得到本地载波 $c(t)$：

$c(t)=\cos ({\omega }_{c}t+\hat{\theta })$

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3.3 相干解调部分

第三步：相干相乘（乘法器2输出）

将输入信号 $s(t)$ 与本地载波 $c(t)$ 相乘：

$$\begin{array}{rl}{y}_{dem}(t)& =s(t)\cdot c(t)\\ & =[Ad(t)\cos ({\omega }_{c}t+\theta )]\cdot \cos ({\omega }_{c}t+\hat{\theta })\\ & =\frac{Ad(t)}{2}[\cos (\theta -\hat{\theta })+\cos (2{\omega }_{c}t+\theta +\hat{\theta })]\end{array}$$

第四步：低通滤波（LPF）

滤除 $2{\omega }_c$ 附近的高频分量，保留基带部分：

$z(t)=\text{LPF}\{y_{dem}(t)\}=\frac{A}{2}d(t)\cos (\varphi )$

其中 $\varphi =\theta -\hat{\theta }$ 为相位误差。当锁相环理想锁定（$\varphi \approx 0$）时：

$z(t)\approx \frac{A}{2}d(t)$

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4. 关键问题分析：相位模糊性

在分频过程中，由于 $2\hat{\theta }$ 在还原为 $\hat{\theta }$ 时存在两个可能的相位取值（$0$ 或 $\pi$），这会导致恢复的载波出现 $180^{\circ }$ 相位模糊：

1. 若 $\hat{\theta }$ 正确，输出为 $d(t)$；
2. 若 $\hat{\theta }$ 偏差 $\pi$，输出为 $-d(t)$（即数据全反）。

解决方法： 实际工程中通常结合差分编码（DPSK）来消除这种相位不确定性的影响。

5. 总结

本方案通过两个乘法器的巧妙配合实现了闭环载波恢复与解调：

• 第一个乘法器：充当非线性器件，负责“去调制”，暴露出载波频率信息。
• 第二个乘法器：充当鉴相解调器，负责“频谱搬移”，将信号从带通搬移回基带。

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$d(t)$ 代表的是双极性基带数据信号（Bipolar Baseband Data Signal），也就是你想要传输的原始二进制信息。

简单来说，它就是把我们电脑里的“0”和“1”变成了一个随时间变化的电压信号。

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$d(t)$ 的具体含义

1. 物理形态：

   它是一个矩形脉冲序列。在每一个比特周期（$T_b$）内，它的值是恒定的。

2. 数值映射（双极性）：

   在相干解调的数学分析中，我们通常不直接使用 $\{0,1\}$，而是将其映射为 $\{+1,-1\}$：

   • 发送比特 "1" 时：$d(t)=+1$
   • 发送比特 "0" 时：$d(t)=-1$

3. 为什么叫“相移”键控？

   观察 BPSK 表达式 $s(t)=A\cdot d(t)\cos ({\omega }_{c}t+\theta )$：

   • 当 $d(t)=1$ 时，$s(t)=A\cos ({\omega }_{c}t+\theta )$（相位为 $0$）

   • 当 $d(t)=-1$ 时，$s(t)=-A\cos ({\omega }_{c}t+\theta )=A\cos ({\omega }_{c}t+\theta +\pi )$（相位翻转了 $180^{\circ }$）

     这就是“相位偏移”的由来。

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为什么在“平方环”里它很重要？

在推导平方环原理时，$d(t)$ 有一个极其关键的数学特性：

由于 $d(t)$ 只能取 $+1$ 或 $-1$，那么它的平方永远等于 $1$。

$d^2(t)\equiv 1$

这个特性在电路中的物理意义是：通过平方运算（乘法器 1），我们把信号中由于 $d(t)$ 正负翻转带来的相位变化给“抹平”了。

如果没有这个性质，信号的相位会一直跳变，锁相环（PLL）就无法在杂乱的相位中锁定频率。正是因为 $d^2(t)=1$，平方后的信号变成了一个干净的、频率为 $2{\omega }_c$ 的连续正弦波，锁相环才能稳稳地抓住它。