信号之AM—DSB及三种解调方式总结与原理分析

• 常规 AM（DSB-AM）——常规双边带幅度调制
• DSB（DSB-SC）——抑制载波的双边带调制

ma调制指数计算

常规调幅（DSB-AM，双边带全载波调幅）是唯一具有传统意义上调制指数 $m_a$​ 的调幅方式。

该参数是衡量调幅深度和失真风险的关键指标。调制指数 $m_a$ 衡量的是已调波包络的最大变化程度。在常规 AM 中，已调波的包络电压 $V_{\text{包络}}(t)$ 是由直流偏置 $V_c$ 和调制信号 $V_{cm}\cos (\Omega t)$ 共同决定的：

$$V_{\text{包络}}(t)=V_c+V_{cm}\cos (\Omega t)=V_c\left(1+m_a\cos (\Omega t)\right)$$

调制指数 $m_a$ 的定义与公式

调制指数 $m_a$ 定义为调制信号最大振幅 $V_{cm}$ 与载波静态幅度 $V_c$（或称直流偏置）的比值。

• 公式：

  $m_a=\frac{V_{cm}}{V_c}$

• 参数说明：

  • $V_{cm}$：调制信号（如低频正弦信号）的最大振幅（峰值）。
  • $V_c$：载波的静态幅度（即未调制时的载波峰值，由直流偏置决定）。

• 取值限制：

  调制指数 $m_a$ 的取值范围必须满足：

  $0\le m_a\le 1$

  当 $m_a>1$ 时，信号将发生过调制失真（包络检波器无法正确还原调制信号）。

$m_a$ 与直流偏置 $V_c$ 的关系计算

根据 $m_a$ 的定义公式，在已知调制信号振幅 $V_{cm}$ 和目标调制指数 $m_a$ 的情况下，可以直接计算出所需的直流偏置 $V_c$。

已知条件：

• 调制信号振幅 $V_{cm}=1\text{V}$
• 目标调制指数 $m_a$（待定）

公式推导：

由 $m_a=\frac{V_{cm}}{V_c}$ 可得：

$V_c=\frac{V_{cm}}{m_a}$

具体计算示例：

目标 ma	所需直流偏置 Vc	结果	调制状态
$m_a=0.5$	$V_c=\frac{1\text{V}}{0.5}$	$2.0\text{V}$	欠调制
$m_a=0.8$	$V_c=\frac{1\text{V}}{0.8}$	$1.25\text{V}$	欠调制
$m_a=1.0$	$V_c=\frac{1\text{V}}{1.0}$	$1.0\text{V}$	临界无失真

基于乘法器的 AM 调制实现与 $m_a$ 的关系

在实际的调制电路中，常采用加偏置后与载波相乘的方式实现常规 AM 调制。

调制过程的数学表示

1. 调制信号加偏置：

   原始调制信号为 $m(t)=V_{cm}\cos (\Omega t)$。

   加入直流偏置 $V_b$ 后，输入乘法器的信号为：

   $v_{in}(t)=V_b+V_{cm}\cos (\Omega t)$

2. 与载波相乘：

   无偏置载波为 $c(t)=A_c\cos ({\omega }_{c}t)$。

   最终的已调波 $s(t)$ 为两者相乘：

   $s(t)=c(t)\cdot v_{in}(t)=A_c\left(V_b+V_{cm}\cos (\Omega t)\right)\cos ({\omega }_{c}t)$

与常规 AM 标准式的对应

常规 AM 的标准时域表达式为：

$s(t)=V_c\left(1+m_a\cos (\Omega t)\right)\cos ({\omega }_{c}t)$

将乘法器得到的 $s(t)$ 表达式展开：

$s(t)=(A_c{V}_b)\cdot \left(1+\frac{V_{cm}}{V_b}\cos (\Omega t)\right)\cdot \cos ({\omega }_{c}t)$

通过对比，可以得出如下等价关系：

1. 常规 AM 的 “载波静态幅度” $V_c$：

   $V_c=A_c\cdot V_b$

   $V_c$ 是载波振幅 $A_c$ 和偏置电压 $V_b$ 的乘积。

2. 调制指数 $m_a$：

   $m_a=\frac{V_{cm}}{V_b}$

   核心结论： 调制指数 $m_a$ 仅由调制信号振幅 $V_{cm}$ 和所加的偏置 $V_b$ 决定，与载波振幅 $A_c$ 没有直接关系。只要 $V_b$ 固定，不管 $A_c$ 怎么变化，$m_a$ 都不变。

载波振幅 $A_c$ 的实际工程限制

虽然 $A_c$ 不影响 $m_a$ 的计算值，但在实际系统中 $A_c$ 不能任意选取，必须考虑以下工程因素：

• 功率限制： $A_c$ 越大，已调波 $s(t)$ 的总功率越大。必须保证总功率不超过发射设备的功率上限。
• 信噪比 (SNR) 要求： $A_c$ 不能太小，否则已调波幅度过弱，在接收端解调时容易被噪声淹没，影响通信质量。
• 设备适配与失真： $A_c$ 需匹配后续放大、滤波等电路的线性输入范围。如果 $A_c$ 过大，会导致信号在电路中被“截断”，产生削波失真。

三种调制状态的定义

欠调制（Under-modulation）

• 条件： $0\le m_a<1$

• 物理表现： 调制信号的最大幅度 $V_{cm}$ 小于直流偏置 $V_c$。

  $V_{cm}<V_c$

• 结果： 在 $m_a=0.5$ 的例子中，$V_{cm}=1\text{V}$，而 $V_c=2.0\text{V}$。

  此时，包络的最小幅度为：

  $V_{\text{包络, min}}=V_c-V_{cm}=2.0\text{V}-1.0\text{V}=1.0\text{V}$

  包络在任何时刻都不会降到零或变为负值。这是无失真调制的理想状态，但效率较低。

临界调制（Critical Modulation 或 Full Modulation）

• 条件： $m_a=1$

• 物理表现： 调制信号的最大幅度 $V_{cm}$ 等于直流偏置 $V_c$。

  $V_{cm}=V_c$

• 结果： 包络的最小幅度恰好为零：

  $V_{\text{包络, min}}=V_c-V_{cm}=1.0\text{V}-1.0\text{V}=0\text{V}$

  这是最大无失真调制，功率效率最高。

过调制（Over-modulation）

• 条件： $m_a>1$

• 物理表现： 调制信号的最大幅度 $V_{cm}$ 大于直流偏置 $V_c$。

  $V_{cm}>V_c$

• 结果： 包络的最小幅度将变为负值 ($V_{\text{包络, min}}<0$)。

  这会导致信号的包络出现削波失真，无法通过常规的包络检波器正确解调出原始调制信号。

相干解调

仿真导入

这个是后期通信原理的一个基于Matlab的AM调制以及相干解调的仿真

接下来我给出示波器所展示的波形的图片

第5行显示的波形，是相干解调后还没有经过低通滤波的原始波形

看见这张图片我们会产生一个疑问？ 为什么在相干解调前信号有正有负，但是相干解调后，所有的信号都在0以上？

这一块的原因其实是数学上的原因，具体如下：

为什么相干解调相乘后信号全在零轴以上？（数学本质）

AM信号的先天结构

调幅信号的表达式为：

$$s_{\text{AM}}(t)=\underset{\text{非负包络}}{\underbrace{\left[A+m(t)\right]}}\cdot \cos ({\omega }_{c}t)$$

其中 包络 $A+m(t)\ge 0$（调幅基本要求，避免“过调幅”失真），载波 $\cos ({\omega }_{c}t)$ 是正负交替的高频振荡（取值范围 $[-1,+1]$）。

相干解调的“相乘”操作

解调第一步，接收信号与同频同相的本地载波 $\cos ({\omega }_{c}t)$ 相乘：

$$s_{\text{product}}(t)=s_{\text{AM}}(t)\cdot \cos ({\omega }_{c}t)=\left[A+m(t)\right]\cdot {\cos }^2({\omega }_{c}t)$$

${\cos }^2({\omega }_{c}t)$ 的非负性推导

核心是 平方运算的数学性质 + 三角恒等式：

• 取值范围分析：
  载波 $\cos ({\omega }_{c}t)\in [-1,+1]$，但平方后：

  $${\cos }^2({\omega }_{c}t)={\left[\cos ({\omega }_{c}t)\right]}^2\ge 0$$

  即 ${\cos }^2({\omega }_{c}t)$ 始终非负（取值范围 $[0,+1]$）。

• 三角恒等式验证：
  利用公式 ${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$，令 $x={\omega }_{c}t$，则：

  $${\cos }^2({\omega }_{c}t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)$$

  由于 $\cos (2{\omega }_{c}t)\in [-1,+1]$，代入得：

  $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)\in \left[\frac{1-1}{2},\frac{1+1}{2}\right]=[0,+1]$$

  进一步证明 ${\cos }^2({\omega }_{c}t)$ 恒非负。

最终波形的非负性

回到相乘结果 $s_{\text{product}}(t)$：

• 包络 $A+m(t)\ge 0$（调幅约束），
• 因子 ${\cos }^2({\omega }_{c}t)\ge 0$（平方性质）。

两者非负相乘，故：

$$s_{\text{product}}(t)=\underset{\ge 0}{\underbrace{\left[A+m(t)\right]}}\cdot \underset{\ge 0}{\underbrace{{\cos }^2({\omega }_{c}t)}}\ge 0$$

即 相乘后信号必然全在零轴上方。

相干解调中低通滤波还原基带信号的数学原理

滤波前的信号基础

相干解调第一步“相乘”后，得到的信号为：

$$s_{\text{product}}(t)=\left[A+m(t)\right]\cdot {\cos }^2({\omega }_{c}t)$$

结合三角恒等式 ${\cos }^2({\omega }_{c}t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)$，将上式展开分离高低频分量：

$$s_{\text{product}}(t)=\left[A+m(t)\right]\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)\right)$$

$$=\underset{\text{低频分量（含基带信号）}}{\underbrace{\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)}}+\underset{\text{高频分量（倍频载波）}}{\underbrace{\frac{A}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)+\frac{1}{2}m(t)\cos (2{\omega }_{c}t)}}$$

低通滤波的核心作用：分离高低频

信号分量的频率特性

• 低频分量：$\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)$
  其中 $m(t)$ 是基带信号（如语音、图像信号），其最高频率为 $f_m$（通常远小于载波频率 $f_c$，即 $f_m\ll f_c$），因此该分量的频率范围集中在 $[0,f_m]$。

• 高频分量：$\frac{A}{2}\cos (2{\omega }_{c}t)+\frac{1}{2}m(t)\cos (2{\omega }_{c}t)$

  • 第一项是 $2{\omega }_c$（即 $2f_c$）的纯倍频载波，频率固定为 $2f_c$；
  • 第二项是基带信号 $m(t)$ 对 $2{\omega }_c$ 载波的调幅，频率范围集中在 $[2f_c-f_m,2f_c+f_m]$；
  • 核心特征：高频分量的最低频率 $2f_c-f_m\gg f_m$（因 $f_c\gg f_m$），与低频分量无重叠。

低通滤波器的参数选择

需选用 截止频率 $f_L$ 满足以下条件的低通滤波器（LPF）：

$$f_m<f_L<2f_c-f_m$$

• 作用：允许低频分量 $\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)$ 完全通过，同时彻底抑制所有高频分量（$2f_c$ 附近的信号）。

滤波后的输出与基带信号还原

低通滤波的数学结果

经过低通滤波后，高频分量被完全滤除，仅保留低频分量，滤波器输出 $s_{\text{LPF}}(t)$ 为：

$$s_{\text{LPF}}(t)=\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)$$

还原原始基带信号 $m(t)$

对滤波输出做简单线性变换，即可剥离直流分量 $\frac{A}{2}$，还原 $m(t)$：

$$m(t)=2s_{\text{LPF}}(t)-A$$

数学本质总结

1. 相乘操作的核心是通过 ${\cos }^2({\omega }_{c}t)$ 的恒等变换，将基带信号 $m(t)$ 从“载波调制态”（频率 $[f_c-f_m,f_c+f_m]$）转移到“低频态”（频率 $[0,f_m]$），同时产生可分离的倍频高频分量；
2. 低通滤波的本质是 利用频率分离特性，通过截止频率的合理选择，提取含基带信号的低频分量，滤除无用高频；
3. 最终通过线性变换剥离直流偏置，即可无失真还原原始基带信号 $m(t)$。

完整流程数学链

$$s_{\text{AM}}(t)=[A+m(t)]\cos ({\omega }_{c}t)\text{（接收AM信号）}$$

$$s_{\text{product}}(t)=\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)+\text{高频分量}\text{（相乘：}\times \cos ({\omega }_{c}t)\text{）}$$

$$s_{\text{LPF}}(t)=\frac{A}{2}+\frac{1}{2}m(t)\text{（低通滤波：}{f}_m<f_L<2f_c-f_m\text{）}$$

$$m(t)=2s_{\text{LPF}}(t)-A\text{（还原基带信号）}$$

包络检波

AD8361 核心特性与包络检波原理

AD8361 是 真有效值（RMS）检波器，核心功能是将输入交流信号的幅度（RMS 值）转换为直流电压输出，适用于 射频（RF）调幅信号（AM）的包络提取。

1. 包络检波的数学逻辑（以 AM 信号为例）

AM 信号表达式：

$$s_{\text{AM}}(t)=\underset{\text{包络（基带信号）}}{\underbrace{[A+m(t)]}}\cdot \cos ({\omega }_{c}t)$$

• 包络：$A+m(t)$ 是基带信号（如语音），需从载波中提取。
• AD8361 的作用：测量 $s_{\text{AM}}(t)$ 的 RMS 值，利用 RMS 与包络的线性关系还原基带信号。

RMS 与包络的推导

计算 $s_{\text{AM}}(t)$ 的 RMS 值（有效值）：

$$\text{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{s}_{\text{AM}}^2(t)dt}$$

$$=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T[A+m(t){]}^2{\cos }^2({\omega }_{c}t)dt}$$

$$\approx [A+m(t)]\cdot \sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{\cos }^2({\omega }_{c}t)dt}(\text{因 }m(t)\text{ 带宽远小于载波频率，可视为慢变信号})$$

$$=[A+m(t)]\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\text{因 }{\cos }^2({\omega }_{c}t)\text{ 的均值为 }1/2)$$

AD8361 输出直流电压 $V_{\text{out}}$ 与 RMS 成正比：

$$V_{\text{out}}=K\cdot \text{RMS}=K\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}[A+m(t)]$$

其中 $K$​ 是芯片增益（可通过校准确定）。因此，$V_{\text{out}}$​ 直接反映包络 $A+m(t)$​ 的变化，实现包络检波。

二极管检波

二极管包络检波原理与核心公式

核心原理概述

二极管检波是 非相干解调 方案，利用二极管 单向导电性 实现信号整流，结合 RC低通滤波 提取AM信号包络，核心是“整流+滤波”的物理过程，无需本地载波，电路简单。

数学推导与关键公式

已知条件

• AM输入信号（包络非负，避免过调幅）：
  $$ s{\text{AM}}(t) = \underbrace{[A + m(t)]}{\text{非负包络}} \cdot \cos(\omega_c t) $$
  其中：$A$=载波幅度，$m(t)$=基带信号（$|m(t)|\le A$），${\omega }_c=2\pi f_c$=载波角频率，$f_c$=载波频率。

第一步：二极管整流（单向化处理）

理想二极管仅允许正半周信号通过，整流后输出：
$$ s{\text{rec}}(t) = s{\text{AM}}(t) \cdot u[s_{\text{AM}}(t)] $$

• $u(\cdot )$=单位阶跃函数（$x>0$时$u(x)=1$，$x\le 0$时$u(x)=0$）。
• 因$A+m(t)\ge 0$，简化为：
  $$ s_{\text{rec}}(t) = [A + m(t)] \cdot |\cos(\omega_c t)| $$
  （$|\cos ({\omega }_{c}t)|$为单向高频载波，取值范围$[0,1]$​​）。

给 $u[s_{AM}(t)]$ 下一个“人话定义”，它就是一个 “以 AM 信号为判断标准的全自动开关”：

AM虽然有包络，但是其本质就是无数高频信号相乘导致的一个外包络，并不是真实外围有一圈波

• 括号里的 $s_{AM}(t)$ = 开关的“判断依据”（看当前时刻的 AM 信号是正还是负）；

• 开关只有两个状态：0（关）和 1（开）；

• 判断规则：

  若当前 AM 信号 > 0（正电）→ 开关 = 1（开）；

  若当前 AM 信号 ≤ 0（负电或零）→ 开关 = 0（关）。

第二步：RC低通滤波（提取包络）

RC电路时间常数$\tau =R\cdot C$需满足 核心约束条件（无失真检波关键）：
$$ \frac{1}{\omega_c} \ll \tau \ll \frac{1}{\omega_m} $$

• 展开为频率形式（更易工程应用）：
  $$ \frac{1}{2\pi f_c} \ll RC \ll \frac{1}{2\pi f_m} $$
  其中：${\omega }_m=2\pi f_m$=基带信号最高角频率，$f_m$=基带信号最高频率（如语音$f_m\approx 3kHz$）。
• 物理意义：
  • $\tau \gg \frac{1}{2\pi f_c}$：电容充电快、放电慢，跟随载波峰值；
  • $\tau \ll \frac{1}{2\pi f_m}$：电容放电速度足够，跟随基带信号变化。

检波输出与基带信号还原

• RC滤波后输出（近似包络）：
  $$ v_o(t) \approx A + m(t) $$
• 剥离直流分量，还原原始基带信号：
  $$ m(t) = v_o(t) - A $$

核心公式汇总表

物理量	公式	说明
AM输入信号	$s_{\text{AM}}(t)=[A+m(t)]\cos ({\omega }_{c}t)$	包络$A+m(t)\ge 0$（避免过调幅）
整流后信号	$s_{\text{rec}}(t) = [A + m(t)] \cdot	\cos(\omega_c t)
RC时间常数约束（核心）	$\frac{1}{2\pi f_c}\ll RC\ll \frac{1}{2\pi f_m}$	平衡载波滤除与包络跟随，无失真检波关键
检波输出（包络）	$v_o(t)\approx A+m(t)$	滤除高频载波后的最终输出
基带信号还原	$m(t)=v_o(t)-A$	剥离直流分量$A$，得到原始基带信号

关键特点

1. 优点：电路极简（二极管+RC）、无需本地载波、成本低、功耗小；
2. 缺点：存在惰性失真（$\tau$​过大）、负峰切割失真（负载不匹配），动态范围较窄（30-40dB）。

包络为什么可以用低通滤波滤出

包络推导：从时域直观到数学逻辑

1. AM信号时域结构
   调制核心是“基带信号控制载波幅度”，原始AM信号：
   $$ s_{\text{AM}}(t) = E(t) \cdot \cos(\omega_c t) = [A + m(t)] \cdot \cos(\omega_c t) $$
   其中 $ f_c \gg f_m （载波频率远大于基带频率，如 $ f_c=455\text{kHz} $， f_m=3\text{kHz} $）。
2. 瞬时幅度与包络提取
   任意时刻AM信号的瞬时幅度（绝对值）：
   $$ |s_{\text{AM}}(t)| = |A + m(t)| \cdot |\cos(\omega_c t)| $$
   因 $ A + m(t) \geq 0 ，简化为 $ [A + m(t)] \cdot |\cos(\omega_c t)| $。 关键特性： \cos(\omega_c t) $ 是高频振荡（周期 $ T_c \ll T_m $），宏观上 $ |\cos(\omega_c t)| $ 的振荡被“平均”，仅保留 $ A + m(t) $ 的慢变趋势——即视觉上的“包络”

RC滤波近似推导：$s_{\text{LPF}}(t)\approx A+m(t)$

前提：整流后信号

二极管整流后，单向脉动信号含包络+高频载波：
$$ s_{\text{rec}}(t) = [A + m(t)] \cdot |\cos(\omega_c t)| $$
$|\cos ({\omega }_{c}t)|$ 是周期 $T_c^{\prime }=T_c/2$ 的非正弦信号，需通过 傅里叶级数分解 分离高低频。

步骤1：$|\cos ({\omega }_{c}t)|$ 傅里叶展开

分解为“直流+偶次谐波”（高次谐波幅度衰减可忽略）：
$$ |\cos(\omega_c t)| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{3\pi}\cos(2\omega_c t) + \frac{4}{15\pi}\cos(4\omega_c t) - ... $$

核心分量：直流 $\frac{2}{\pi }$ + 高频谐波 $2{\omega }_c、4{\omega }_c...$

步骤2：代入整流信号，分离分量

$$s_{\text{rec}}(t)=[A+m(t)]\cdot \left(\frac{2}{\pi }-\frac{4}{3\pi }\cos (2{\omega }_{c}t)+...\right)$$

$$=\underset{\text{低频：含包络，}[0,f_m]}{\underbrace{\frac{2}{\pi }[A+m(t)]}}-\underset{\text{高频：}[2f_c\pm f_m]}{\underbrace{\frac{4}{3\pi }[A+m(t)]\cos (2{\omega }_{c}t)}}+...$$

步骤3：RC低通滤波（频域选通）

• 幅频特性：$f<f_L$（截止频率）通过，$f>f_L$ 衰减；

• 约束：$f_m<f_L<2f_c-f_m$（确保高低频分离）；

• 输出：仅保留低频分量，高频被滤除：

  $$ s_{\text{LPF}}(t) = \frac{2}{\pi}[A + m(t)] $$

步骤4：“约等于”的本质

$\frac{2}{\pi }\approx 0.636$ 是 常数增益，仅缩放幅度不改变信号形状，工程上可通过校准（乘以 $\frac{\pi }{2}$）还原，故简化为：

$$ s_{\text{LPF}}(t) \approx A + m(t) = E(t) $$

$|\cos ({\omega }_{c}t)|$ 与 $\cos ({\omega }_{c}t)$ 对比